Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь

Liudmyla L. Hart

Анотація


Досліджено проекційно-ітераційні методи регуляризації, що ґрунтуються на явних методах варіаційного типу (найшвидшого спуску та мінімальних нев’язок), для розв’язання некоректних лінійних операторних рівнянь у гільбертовому просторі, для яких не виконується третя умова коректності задачі за Адамаром (стійкість). Запропонований підхід полягає у заміні вихідного некоректного рівняння деякою послідовністю більш простих апроксимованих рівнянь, заданих у скінченновимірних підпросторах вихідного простору. Для кожного з "наближених" рівнянь будується за допомогою явного варіаційного методу лише декілька наближень, останнє з яких береться за початкове наближення в ітераційному процесі для наступного "наближеного" рівняння. Доведено теореми про збіжність проекційно-ітераційних методів, отримано оцінки похибки. Надано рекомендації щодо вибору регуляризувальної кількості ітерацій.

Ключові слова


некоректне рівняння; оператор; простір; послідовність; наближення; ітераційний метод; нев’язка; похибка; проекційно-ітераційний метод; збіжність; оцінка

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Samarskij A.A. Chislennye metody reshenija obratnyh zadach matematicheskoj fiziki / A.A. Samarskij, P.N. Vabischevich. — M.: Izd-vo LKI, 2009. — 480 s.

Algoritmicheskij analiz neustojchivyh zadach: Tez. dokl. mezhdunar. konf. — Ekaterinburg: IMM UrO RAN, 2011. — 306 s.

Matysik O.V. Javnye i nejavnye iteratsionnye protsedury reshenija nekorrektno postavlennyh zadach / O.V. Matysik. — Brest: Izd-vo BrGU, 2014. — 213 s.

Lavrent'ev M.M. O nekotoryh nekorrektnyh zadachah matematicheskoj fiziki / M.M. Lavrent'ev. — Novosibirsk: Izd-vo SO AN CCCR, 1962. — 92 s.

Tihonov A.N. Metody reshenija nekorrektnyh zadach / A.N. Tihonov, V.Ja. Arsenin. — M.: Nauka, 1979. — 288 s.

Morozov V.A. Reguljarnye metody reshenija nekorrektno postavlennyh zadach / V.A. Morozov. — M.: Izd-vo MGU, 1974. — 320 s.

Ivanov V.K. Teorija linejnyh nekorrektnyh zadach i ee prilozhenija / V.K. Ivanov, V.V. Vasin, V.P. Tanana. — M.: Nauka, 1978. — 206 s.

Vajnikko G.M. Iteratsionnye protsedury v nekorrektnyh zadachah / G.M. Vajnikko, A.Ju. Veretennikov. — M.: Nauka, 1986. — 178 s.

Strahov V.N. K voprosu o skorosti shodimosti v metode prostoj iteratsii / V.N. Strahov // Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki. — 1973. — 13, No. 6. — S. 1602–1606.

Krasnosel'skij M.A. Priblizhennoe reshenie operatornyh uravnenij / M.A. Krasnosel'skij i dr. — M.: Nauka, 1969. — 456 s.

Konstantinova Ja.V. Otsenki pogreshnosti v metode iteratsij dlja uravnenij I-go roda / Ja.V. Konstantinova, O.A. Liskovets // Vestn. Belorus. un-ta. — 1973. — No. 1. — S. 9–15.

Balashova S.D. Priblizhennye metody reshenija operatornyh uravnenij / S.D. Balashova. — D.: DGU, 1980. — 112 c.

Gart L.L. Javnyj proektsionno-iteratsionnyj metod reshenija nekorrektnyh operatornyh uravnenij / L.L. Gart // Pytannja prykladnoyi matematyky i matematychnoho modeljuvannja. — D.: RVV DNU, 2015. — Vyp. 15. — S. 33–47.

Kantorovich L.V. Funktsional'nyj analiz / L.V. Kantorovich, G.P. Akilov. — SPb.: Nevskij Dialekt, 2004. — 816 s.

Gabdulhaev B.G. Teorija priblizhennyh metodov reshenija operatornyh uravnenij / B.G. Gabdulhaev. — Kazan': Izd-vo Kazan. un-ta, 2006. — 112 s.

Samarskij A.A. Chislennye metody / A.A. Samarskij, A.V. Gulin. — M.: Nauka, 1989. — 432 s.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Самарский А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — М.: Изд-во ЛКИ, 2009. — 480 с.

2. Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. междунар. конф. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. — 306 с.

3. Матысик О.В. Явные и неявные итерационные процедуры решения некорректно поставленных задач / О.В. Матысик. — Брест: Изд-во БрГУ, 2014. — 213 с.

4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. — Новосибирск: Изд-во СО АН CCCР, 1962. — 92 с.

5. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. — М.: Наука, 1979. — 288 с.

6. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В.А. Морозов. — М.: Изд-во МГУ, 1974. — 320 с.

7. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

8. Вайникко Г.М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г.М. Вайникко, А.Ю. Веретенников. — М.: Наука, 1986. — 178 с.

9. Страхов В.Н. К вопросу о скорости сходимости в методе простой итерации / В.Н. Страхов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1973. — 13, № 6. — С. 1602–1606.

10. Красносельский М.А. Приближённое решение операторных уравнений / М.А. Красносельский и др. — М.: Наука, 1969. — 456 с.

11. Константинова Я.В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений I-го рода / Я.В. Константинова, О.А. Лисковец // Вестн. Белорус. ун-та. — 1973. — № 1. — С. 9–15.

12. Балашова С.Д. Приближенные методы решения операторных уравнений / С.Д. Балашова. — Д.: ДГУ, 1980. — 112 c.

13. Гарт Л.Л. Явный проекционно-итерационный метод решения некорректных операторных уравнений / Л.Л. Гарт // Питання прикладної математики i математичного моделювання. — Д.: РВВ ДНУ, 2015. — Вип. 15. — С. 33–47.

14. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — СПб.: Невский Диалект, 2004. — 816 с.

15. Габдулхаев Б.Г. Теория приближенных методов решения операторных уравнений / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2006. — 112 с.

16. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 с.





DOI: https://doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.09