DOI: https://doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.0.08

Алгоритм побудови біфуркаційної картини нелінійної крайової задачи для рівнянь Кармана

Vasilii A. Gromov

Анотація


У межах нелінійного узагальненого методу Канторовича запропоновано новий підхід до локалізації та аналізу особливих точок розв’язку нелінійної крайової задачі для рівнянь Кармана: розв’язання нелінійної крайової задачі зводиться до розв’язання послідовності нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Одновимірні крайові задачі розв’язуються за допомогою методу зведення нелінійної крайової задачі до еквівалентної задачі Коші, у процесі реалізації якого будується матриця Фреше; її виродженість є необхідною і достатньою умовою існування розгалуження. Числова побудова рівнянь розгалуження дозволяє будувати гілки, що виходять з точки біфуркації. Обчислювальний експеримент дозволив установити біфуркаційну картину для випадку рівнянь Кармана з узагальненою правою частиною: розв’язок характеризується наявністю гілок первинного та вторинного розгалужень.

Ключові слова


рівняння Кармана; розгалуження розв’язків нелінійних крайових задач для рівнянь в частинних похідних; нелінійний узагальнений метод Канторовича; первинне та вторинне розгалуження

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Rao B. Marguerre-von Karman equations and membrane model / B. Rao // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications. — 1995. — Vol. 24, N 8. — P. 1131-1140.

Vanderbauwhede A. Generic and Nongeneric Bifurcations for the von Karman Equations / A. Vanderbauwhede // J. of Mathematical Analysis and Applications. — 1977. — Vol. 66. — P. 550-573.

Gubinelli M. Ramification of rough paths / M. Gubinelli // J. Differential Equations. — 2010. — N 248. — P. 693-721.

Feyel D. Curvilinear integrals along enriched paths / D. Feyel, A. de La Pradelle // Electron. J. Probab. 11. — 2006. — P. 860–892.

Lyons T. System Control and Rough Paths / T. Lyons, Z. Qian. — Oxford: Oxford University Press, 2002. — 300 p.

Keller J.B. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems / J.B. Keller, S. Antman (Eds). — N.-Y.: Benjamin WA inc, 1969. — 250 p.

Fujii F. Static path jumping to attain postbuckling equilibria of a compressed circular cylinder / F. Fujii, H. Noguchi, E. Ramm // Comp. Mech. — 2000. — No. 26. — P. 259-266.

Guljaev V.I. Ustojchivost' nelinejnyh mehanicheskih sistem / V.I. Guljaev, V.A. Bazhenov, E.A. Gotsuljak. — L'vov: L'vov. gos. un-t, 1982. — 255 s.

Grigoljuk E.I. Neosesimmetrichnoe zakriticheskoe povedenie pologih sfericheskih kupolov / E.I. Grigoljuk, E.A. Lopanitsyn // Prikladnaja matematika i mehanika. — 2003. — T. 67, No. 6. — S. 921-932.

Grigoljuk E.I. O metode nepreryvnogo prodolzhenija po parametru / E.I. Grigoljuk, E.A. Lopanitsyn // Dokl. RAN. — 1994. — T. 335, No. 5. — S. 582-585.

Grigoljuk E.I. Prodolzhenija reshenija nelinejnyh uravnenij v okrestnosti tochek bifurkatsii / E.I. Grigoljuk, E.A. Lopanitsyn // Matematychni metody ta fizyko-mekhanichni polja. — 1998. — T. 41, No. 1. — S. 35-46.

Lopanitsyn E.A. Modifikatsija metoda nepreryvnogo prodolzhenija dlja otyskanija bifurkatsionnyh reshenij statsionarnyh samosoprjazhennyh kraevyh zadach / E.A. Lopanitsyn, A.B. Frolov // PMM. — 2012. — T. 76, No. 6. — S. 993-1002.

Vajnberg M.M. Teorija vetvlenija nelinejnyh uravnenij / M.M. Vajnberg, V.A. Trenogin. — M.: Nauka, 1969. — 528 s.

Obodan N.I. Nonlinear behavior and stability of thin-walled shells / N.I. Obodan, O.G. Lebedeyev, V.A. Gromov // Springer. — 2013. — 180 p.

Kantorovich L.V. Approximate Methods of Higher Analysis / L.V. Kantorovich, V.I. Krylov. — N.-Y.: Interscience, 1958. — 682 p.

Peshkov I.M. Vetvlenie reshenij matematicheskih modelej gipoteticheskih gennyh setej / I. M. Peshkov // Vestnik NGU. Ser. Matematika, mehanika, informatika. — 2007. — T. 7, No. 3. — S. 59-72.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Rao B. Marguerre-von Karman equations and membrane model / B. Rao // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications. — 1995. — Vol. 24, N 8. — P. 1131-1140.

2. Vanderbauwhede A. Generic and Nongeneric Bifurcations for the von Karman Equations / A. Vanderbauwhede // J. of Mathematical Analysis and Applications. — 1977. — Vol. 66. — P. 550-573.

3. Gubinelli M. Ramification of rough paths / M. Gubinelli // J. Differential Equations. — 2010. — N 248. — P. 693-721.

4. Feyel D. Curvilinear integrals along enriched paths / D. Feyel, A. de La Pradelle // Electron. J. Probab. 11. — 2006. — P. 860–892.

5. Lyons T. System Control and Rough Paths / T. Lyons, Z. Qian. — Oxford: Oxford University Press, 2002. — 300 p.

6. Keller J.B. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems / J.B. Keller, S. Antman (Eds). — N.-Y.: Benjamin WA inc, 1969. — 250 p.

7. Fujii F. Static path jumping to attain postbuckling equilibria of a compressed circular cylinder / F. Fujii, H. Noguchi, E. Ramm // Comp. Mech. — 2000. — № 26. — P. 259-266.

8. Гуляев В.И. Устойчивость нелинейных механических систем / В.И. Гуляев, В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк. — Львов: Львов. гос. ун-т, 1982. — 255 с.

9. Григолюк Э.И. Неосесимметричное закритическое поведение пологих сферических куполов / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // Прикладная математика и механика. — 2003. — Т. 67, № 6. — С. 921-932.

10. Григолюк Э.И. О методе непрерывного продолжения по параметру / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // Докл. РАН. — 1994. — Т. 335, № 5. — С. 582-585.

11. Григолюк Э.И. Продолжения решения нелинейных уравнений в окрестности точек бифуркации / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 1998. — Т. 41, № 1. — С. 35-46.

12. Лопаницын Е.А. Модификация метода непрерывного продолжения для отыскания бифуркационных решений стационарных самосопряженных краевых задач / Е.А. Лопаницын, А.Б. Фролов // ПММ. — 2012. — Т. 76, № 6. — С. 993-1002.

13. Вайнберг М.М. Теория ветвления нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

14. Obodan N.I. Nonlinear behavior and stability of thin-walled shells / N.I. Obodan, O.G. Lebedeyev, V.A. Gromov // Springer. — 2013. — 180 p.

15. Kantorovich L.V. Approximate Methods of Higher Analysis / L.V. Kantorovich, V.I. Krylov. — N.-Y.: Interscience, 1958. — 682 p.

16. Пешков И.М. Ветвление решений математических моделей гипотетических генных сетей / И. М. Пешков // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. — 2007. — Т. 7, № 3. — С. 59-72.